Splitting Methods in Image Processing


Setzer, Simon


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URL: http://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/2924
URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-29241
Dokumenttyp: Dissertation
Erscheinungsjahr: 2009
Verlag: Universität Mannheim
Gutachter: Steidl, Gabriele
Datum der mündl. Prüfung: 9 Dezember 2009
Sprache der Veröffentlichung: Englisch
Einrichtung: Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Angewandte Mathematik u. Informatik (Steidl -2011)
Fachgebiet: 510 Mathematik
Fachklassifikation: MSC: 68U10 ,
Normierte Schlagwörter (SWD): Nichtlineare Optimierung , Bildverarbeitung , Konvexe Analysis
Freie Schlagwörter (Deutsch): Operator-Splitting
Freie Schlagwörter (Englisch): operator splitting methods , convex analysis , image processing , image denoising , inpainting
Abstract: It is often necessary to restore digital images which are affected by noise (denoising), blur (deblurring), or missing data (inpainting). We focus here on variational methods, i.e., the restored image is the minimizer of an energy functional. The first part of this thesis deals with the algorithmic framework of how to compute such a minimizer. It turns out that operator splitting methods are very useful in image processing to derive fast algorithms. The idea is that, in general, the functional we want to minimize has an additive structure and we treat its summands separately in each iteration of the algorithm which yields subproblems that are easier to solve. In our applications, these are typically projections onto simple sets, fast shrinkage operations, and linear systems of equations with a nice structure. The two operator splitting methods we focus on here are the forward-backward splitting algorithm and the Douglas-Rachford splitting algorithm. We show based on older results that the recently proposed alternating split Bregman algorithm is equivalent to the Douglas-Rachford splitting method applied to the dual problem, or, equivalently, to the alternating direction method of multipliers. Moreover, it is illustrated how this algorithm allows us to decouple functionals which are sums of more than two terms. In the second part, we apply the above techniques to existing and new image restoration models. For the Rudin-Osher-Fatemi model, which is well suited to remove Gaussian noise, the following topics are considered: we avoid the staircasing effect by using an additional gradient fitting term or by combining first- and second-order derivatives via an infimal-convolution functional. For a special setting based on Parseval frames, a strong connection between the forward-backward splitting algorithm, the alternating split Bregman method and iterated frame shrinkage is shown. Furthermore, the good performance of the alternating split Bregman algorithm compared to the popular multistep methods is illustrated. A special emphasis lies here on the choice of the step-length parameter. Turning to a corresponding model for removing Poisson noise, we show the advantages of the alternating split Bregman algorithm in the decoupling of more complicated functionals. For the inpainting problem, we improve an existing wavelet-based method by incorporating anisotropic regularization techniques to better restore boundaries in an image. The resulting algorithm is characterized as a forward-backward splitting method. Finally, we consider the denoising of a more general form of images, namely, tensor-valued images where a matrix is assigned to each pixel. This type of data arises in many important applications such as diffusion-tensor MRI.
Übersetzter Titel: Splitting-Methoden in der Bildverarbeitung (Deutsch)
Übersetzung des Abstracts: In vielen Anwendungen der Bildverarbeitung ist es notwendig, Rauschen und Blur aus digitalen Bildern zu entfernen (Entrauschen und Deblurren), sowie unbekannte Regionen in Bildern wiederherzustellen (Inpainting). Wir betrachten hier sogenannte Variationsmethoden, d.h. das restaurierte Bild ist ein Minimierer eines Energiefunktionals. Im ersten Teil dieser Arbeit werden Algorithmen zur Berechnung eines solchen Minimierers betrachtet. Dabei stellt sich heraus, dass sogenannte Operator-Splitting-Verfahren in der Bildverarbeitung besonders nützlich sind, denn das zu minimierende Funktional hat im Allgemeinen eine additive Struktur. Diese ermöglicht es, die Summanden in jeder Iteration separat zu betrachten, was zu einfacheren Teilproblem führt. In unseren Anwendungen sind das zum Beispiel Projektionen auf einfache Mengen, schnelle Shrinkage-Operationen und das Lösen linearer Gleichungssysteme von einfacher Struktur. Zwei Operator-Splitting-Methoden sind in dieser Arbeit von besonderem Interesse, nämlich der Forward-Backward-Splitting-Algorithmus und der Douglas-Rachford-Splitting-Algorithmus. Wir zeigen, basierend auf älteren Resultaten, dass der kürzlich vorgestelle Alternating-Split-Bregman-Algorithmus äquivalent zum Douglas-Rachford-Splitting-Algorithmus für das duale Problem und zur Alternating direction method of multipliers ist. Desweiteren wird untersucht, wie dieses Verfahren verwendet werden kann, um Zielfunktionen mit mehr als zwei Summanden zu entkoppeln. Im zweiten Teil dieser Arbeit wenden wir die obigen Verfahren auf bestehende und neue Modelle zur Bildrestauration an. Zunächst betrachten wir das Rudin-Osher-Fatemi-Model zum Entrauschen von Bildern unter der Annahme von Gaußschem Rauschen: Zur Vermeidung des sogannten Staircasing-Effekts verwenden wir einen zusätzlichen Ähnlichkeitsterm bezüglich des Gradienten oder einen Infimal-Convolution-Term mit ersten und zweiten Ableitungen. Für einen Spezialfall basierend auf Parseval-Frames beleuchten wir die enge Verbindung zwischen dem Forward-Backward-Splitting-Algorithmus, dem Alternating-Split-Bregman-Algorithmus und dem iteriertem Frame-Shrinkage. Außerdem zeigen wir die gute Leistung des Alternating-Split-Bregman-Algorithmus im Vergleich zu populären Multistep-Methoden. Hierbei untersuchen wir insbesondere den Einfluss des Schrittweitenparameters. Die Vorteile des Alternating-Split-Bregman-Algorithmus werden besonders deutlich, wenn wir ein verwandtes aber schwieriger zu minimierendes Model zum Entfernen von Poisson-Rauschen betrachten. Zum Lösen des Inpainting-Problems erweitern wir einen Wavelet-basierten Ansatz durch Techniken der anisotropen Regularisierung. Dies trägt dazu bei, dass Kanten im Bild besser wiederhergestellt werden. Auf diese Weise erhalten wieder einen Forward-Backward-Splitting-Algorithmus. Abschließend behandeln wir das Entrauschen einer allgemeineren Form von digitalen Bildern, nämlich tensorwertige Bilder. Dabei ist jedem Pixel eine Matrix zugeordnet. Diese Daten treten in vielen wichtigen Anwendungen auf, z.B. in der Diffusionstensor-MRT. (Deutsch)
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Setzer, Simon (2009) Splitting Methods in Image Processing. [Dissertation]
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