Invariante Deformationsquantisierung und Quantenimpulsabbildungen


Müller-Bahns, Michael


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URL: https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/336
URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-3364
Dokumenttyp: Dissertation
Erscheinungsjahr: 2003
Ort der Veröffentlichung: Mannheim
Verlag: Universität Mannheim
Hochschule: Universität Mannheim
Gutachter: Schlichenmaier, Martin (Apl.)
Datum der mündl. Prüfung: 26 April 2004
Sprache der Veröffentlichung: Deutsch
Einrichtung: Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Mathematik V (Potthoff)
Fachgebiet: 510 Mathematik
Fachklassifikation: MSC: 53D55 53D ,
Normierte Schlagwörter (SWD): Quantisierung <Physik> , Symplektische Geometrie , Kähler-Geometrie , Deformationsquantisierung , Äquivariante Kohomologietheorie
Freie Schlagwörter (Deutsch): Fedosov Konstruktion , Sternprodukte vom Wick-Typ , Klassifikation invarianter Sternprodukte
Freie Schlagwörter (Englisch): Fedosov Construction , star products of Wick-Type , classification of invariant star products
Abstract: Ein zentrales Problem, das in allen Theorien der Quantisierung auftritt, ist die Behandlung klassischer Symmetrien. Im Rahmen der Deformationsquantisierung besteht dieses Problem darin herauszufinden, unter welchen Bedingungen Wirkungen von Liegruppen bzw. Liealgebren durch Symplektomorphismen bzw. Hamiltonsche Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit Automorphismen bzw. Derivationen eines sogenannten Sternprodukts induzieren. Ist dies der Fall, so heißt das betrachtete Sternprodukt invariant. In dieser Arbeit werden sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingungen für die Invarianz aller verallgemeinerten Fedosov-Sternprodukte auf symplektischen Mannigfaltigkeiten und aller Sternprodukte vom Wick-Typ auf Pseudo-Kählermannigfaltigkeiten hergeleitet. Invariante Sternprodukte vom Wick-Typ werden vollständig kohomologisch klassifiziert. Ist ein Sternprodukt invariant, so ergibt sich die wichtige Frage, welche der Derivationen innere sind. Eine formale Funktion, welche derartige Derivationen erzeugt, heißt Quanten-Hamiltonfunktion. Erfüllt sie zusätzlich eine bestimmte Äquivarianzbedingung, so wird sie eine Quantenimpulsabbildung genannt. Es werden für alle obengenannten Sternprodukte notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Quanten-Hamiltonfunktionen und Quantenimpulsabbildungen zu einem invarianten Sternprodukt hergeleitet. Diese Bedingungen stellen eine natürliche Deformation der entsprechenden Bedingungen der klassischen Mechanik dar. Im Fall von Liegruppen-Wirkungen werden die invarianten Sternprodukte mit Quantenimpulsabbildung durch formale Reihen äquivariant geschlossener de Rham Zweiformen klassifiziert. Insbesondere gibt es zu einem invarianten Sternprodukt und gegebener klassischer Impulsabbildung nicht immer eine Quantenimpulsabbildung. Da die Existenz von Quantenimpulsabbildungen wesentlich für die Übertragung der Phasenraumreduktion in die Deformationsquantisierung ist, ist somit in vielen Fällen die Vertauschbarkeit von Quantisierung und Reduktion ausgeschlossen.
Übersetzter Titel: Invariant Deformation Quantization and Quantum Momentum Mappings (Englisch)
Übersetzung des Abstracts: One of the crucial problems one encounters in all theories of quantization is the implementation of classical symmetries. Within the approach of deformation quantization, this problem amounts to deciding under which conditions an action of a Liegroup or Liealgebra by symplectomorphisms or symplectic vector fields, respectively, induces automorphisms or derivations of a so-called star product. If this is fulfilled, the star product is called invariant. In this thesis, necessary and sufficient conditions for this property are derived for all generalized Fedosov-star products on symplectic manifolds and for all star products of Wick-Type on pseudo-Kähler manifolds. A complete cohomological classification of invariant star products of Wick-Type is given. If a star product is invariant, another important question is which of the derivations are inner ones. A formal function generating such an inner derivation is called a quantum Hamiltonian. If a quantum Hamiltonian enjoys a certain equivariance property then it is called a quantum momentum mapping (or quantum moment map). Necessary and sufficient conditions for an invariant star product to admit a quantum Hamiltonian or even a quantum momentum mapping and for these objects to be unique are derived in all of the above-mentioned cases. The conditions given are natural deformations of the corresponding conditions known from classical mechanics. In the case of the action of a Liegroup, invariant star products admitting a quantum momentum mapping are classified by formal equivariantly closed de Rham two-forms. In particular, not every invariant star product for which there is a classical momentum mapping admits a quantum momentum mapping. Since the existence of quantum momentum mappings is an essential prerequisite for the theory of reduction in deformation quantization, this result provides a large class of examples where quantization and reduction cannot commute. (Englisch)
Zusätzliche Informationen:

Das Dokument wird vom Publikationsserver der Universitätsbibliothek Mannheim bereitgestellt.




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Müller-Bahns, Michael (2003) Invariante Deformationsquantisierung und Quantenimpulsabbildungen. Mannheim [Dissertation]
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